设无穷数列的首项
,前
项和为
(
),且点
在直线
上(
为与
无关的正实数).
(1)求证:数列(
)为等比数列;
(2)记数列的公比为
,数列
满足
,设
,求数列
的前
项和
;
(3)若(2)中数列{Cn}的前n项和Tn当时不等式
恒成立,求实数a的取值范围。
(1)证明见解析;(2);(3)
.
【解析】
试题分析:(1)把已知条件变形为,要化为数列项的关系,一般方法是用
代
得
,两式相减,得
,从而得前后项比
为常数,只是还要注意看看是不是有
,如有则可证得
为等比数列;(2)由
定义可知数列
是等差数列,
(
是数列
公差),从而数列
也是等差数列,其前
和易得,这说明我们在求数列和时,最好能确定这个数列是什么数列;(3)
恒成立,即
的最大值,下面我们要求
的最大值,由(2)
是关于
的二次函数,我们只要应用二次函数知识(配方法)就可求出基最大值了,但要注意
是范围是正整数.
试题解析:(1)由已知,有,
当时,
; 2分
当时,有
,
两式相减,得,即
,
综上,,故数列
是公比为
的等比数列; 4分
(2)由(1)知,,则
于是数列是公差
的等差数列,即
,
7分
则
=
10分
(3)不等式恒成立,即
恒成立,又
在
上递减,则
. 14分
16分
考点:(1)数列的前项和
与
的关系,等比数列的定义;(2)等差数列的前
项和;(3)不等式恒成立与二次函数在给定范围内的最值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
(06年广东卷)(14分)
已知公比为的无穷等比数列
各项的和为9,无穷等比数列
各项的和为
.
(Ⅰ)求数列的首项
和公比
;
(Ⅱ)对给定的,设
是首项为
,公差为
的等差数列.求数列
的前10项之和;
(Ⅲ)设为数列
的第
项,
,求
,并求正整数
,使得
存在且不等于零.
(注:无穷等比数列各项的和即当时该无穷数列前n项和的极限)
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科目:高中数学 来源: 题型:
已知公比为的无穷等比数列
各项的和为9,无穷等比数列
各项的和为
。
(1)求数列的首项
和公比
;
(2)对给定的,设
是首项为
,公差为
的等差数列,求
的前2007项之和;
(3)(理)设为数列
的第
项,
:
①求的表达式,并求出
取最大值时
的值。
②求正整数,使得
存在且不等于零。
(文)设为数列
的第
项,
:求
的表达式,并求正整数
,使得
存在且不等于零。
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本题满分14分)第(1)小题满分6分,第(2)小题满分8分。
已知公比为的无穷等比数列
各项的和为9,无穷等比数列
各项的和为
。
(1)求数列的首项
和公比
;
(2)对给定的,设数列
是首项为
,公差为
的等差数列,
求数列的通项公式及前10项的和。
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