Question

已知函数f（x）=ax²-lnx．（a∈R）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）已知曲线y=f（x）与直线y=x相切，求a．

Answer 1

分析：（1）先确定函数的定义域然后求导数f'（x），讨论a的正负，在函数的定义域内解不等式f'（x）＞0和f'（x）＜0，即可求出函数f（x）的单调区间；
（2）设切点，求出切线斜率，利用切点在直线上，代入方程，结合方程解的情况讨论，即可得到结论．

解答：解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=2ax-

1

x

=

2ax2-1

x

，
令g（x）=2ax²-1，x∈（0，+∞）
（i）当a≤0时，g（x）＜0，此时f'（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（ii）当a＞0时，方程2ax²-1=0有两根x₁=

1 2a

，x₂=-

1 2a

，
且x₁＞0，x₂＜0，此时当x∈（0，

1 2a

）时，f'（x）＜0，
当x∈（

1 2a

，+∞）时，f'（x）＞0，
故f（x）在（0，

1 2a

）为减函数，在（

1 2a

，+∞）为增函数；
所以当a≤0时，函数f（x）的递减区间为（0，+∞），
当a＞0时，函数f（x）的递增区间为（

1 2a

，+∞），递减区间为（0，

1 2a

）．
（2）设切点为M（t，t），t＞0．
则f'（t）=1，且at²-lnt=t，∴t-1+2lnt=0，（*）
由于1-1+2ln1=0，∴方程（*）有解t=1，
令g（t）=t-1+2lnt，
∵g'（t）=1+

2

t

＞0，g（t）在（0，+∞）上是增函数，
∴方程（*）有唯一解t=1，
∴a×1²=1+ln1，
∴a=1．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性等基础知识，熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、分类讨论的思想方法等是解题的关键．