【题目】如图,在四棱锥中,底面是矩形, 垂直于底面, ,点为线段(不含端点)上一点.
(1)当是线段的中点时,求与平面所成角的正弦值;
(2)已知二面角的正弦值为,求的值.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1)先根据题意建立空间直角坐标系,设立各点坐标,列方程组解出平面,再根据向量数量积求向量夹角,最后根据线面角与向量夹角互余关系求与平面所成角的正弦值;(2)列方程组解出平面,再根据向量数量积求向量夹角,最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系列等量关系,解方程可得的值.;
试题解析:(1)以为原点, , , 为坐标轴,建立如图所示空间直角坐标系;设,则, , , , , ;
所以, , ,
设平面的法向量,则,
即,解得,所以平面的一个法向量,
,
则与平面所成角的正弦值为.
(2)由(1)知平面的一个法向量为,设,则, , ,设平面的法向量,则,即,解得,所以平面的一个法向量,
由题意得 ,
所以,即,
因为,所以,则.
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【题目】在“新零售”模式的背景下,某大型零售公司推广线下分店,计划在S市的A区开设分店,为了确定在该区开设分店的个数,该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格.记x表示在各区开设分店的个数,y表示这个x个分店的年收入之和.
(1)该公司已经过初步判断,可用线性回归模型拟合y与x的关系,求y关于x的线性回归方程
(2)假设该公司在A区获得的总年利润z(单位:百万元)与x,y之间的关系为,请结合(1)中的线性回归方程,估算该公司应在A区开设多少个分店时,才能使A区平均每个分店的年利润最大?
(参考公式:,其中,)
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【题目】为了了解某学校高三年级学生的数学成绩,从中抽取名学生的数学成绩(百分制)作为样本,按成绩分成组:,,,,,频率分布直方图如图所示.成绩落在中的人数为.
(Ⅰ)求和的值;
(Ⅱ)根据样本估计总体的思想,估计该校高三年级学生数学成绩的平均数和中位数;
(Ⅲ)成绩在分以上(含分)为优秀,样本中成绩落在中的男、女生人数比为,成绩落在中的男、女生人数比为,完成列联表,并判断是否有的把握认为数学成绩优秀与性别有关.
参考公式和数据:.
男生 | 女生 | 合计 | |
优秀 | |||
不优秀 | |||
合计 |
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【题目】如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,平面SAD⊥平面ABCD,SA=SD,E,P,Q分别是棱AD,SC,AB的中点.
(Ⅰ)求证:PQ∥平面SAD;
(Ⅱ)求证:AC⊥平面SEQ;
(Ⅲ)如果SA=AB=2,求三棱锥S-ABC的体积.
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【题目】
如图,在三棱锥P—ABC中,PC⊥底面ABC,AB⊥BC,D,E分别是AB,PB的中点.
(Ⅰ)求证:DE∥平面PAC.
(Ⅱ)求证:AB⊥PB;
(Ⅲ)若PC=BC,求二面角P—AB—C的大小.
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【题目】设函数,,且对所有的实数,等式都成立,其、、、、、、、,、.
(1)如果函数,,求实数的值;
(2)设函数,直接写出满足的两个函数;
(3)如果方程无实数解,求证:方程无实解.
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【题目】已知椭圆: 的左右焦点分别为, ,左顶点为,上顶点为, 的面积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线: 与椭圆相交于不同的两点, , 是线段的中点.若经过点的直线与直线垂直于点,求的取值范围.
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