Question

用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为h米，盖子边长为a米．
（1）求a关于h的函数解析式；
（2）设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值．（求解本题时，不计容器的厚度）

Answer 1

分析：（1）根据题意，写出关于容器的高h米与盖子边长a米的函数关系式，
（2）根据题意写出容器的容积为V的表达式，然后根据基本不等式求出最值以及此时h的值．

解答：解：（1）设h'为正四棱锥的斜高
由已知

a2+4• 1 2 h′a=2 h2+ 1 4 a2=h′2

解得a=

1

h2+1

(h＞0)
（2）V=

1

3

ha2=

h

3(h2+1)

(h＞0)
易得V=

1

3(h+ 1 h )

因为h+

1

h

≥2

h• 1 h

=2，所以V≤

1

6

等式当且仅当h=

1

h

，即h=1时取得．
故当h=1米时，V有最大值，V的最大值为

1

6

立方米．

点评：本题考查函数模型的选择与应用，通过对实际问题的分析，构造数学模型从而解决问题．本题需要构建一个容器的高h米与盖子边长a米的函数关系式，并会用基本不等式求出最值以及最值时h的取值．并注明取值范围．需要对知识熟练的掌握并应用，属于基础题．