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9.$α∈(0,\frac{π}{2})$,方程x2sinα+y2cosα=1表示焦点在y轴上的椭圆,则α的取值范围是(  )
A.$(0,\frac{π}{4})$B.$(0,\frac{π}{6})$C.$(\frac{π}{6},\frac{π}{2})$D.$(\frac{π}{4},\frac{π}{2})$

分析 先根据椭圆焦点在y轴上得出$\frac{1}{sinα}$<$\frac{1}{cosα}$,然后由cosα=sin($\frac{π}{2}$-α),进而根据正弦函数的单调性求出α的取值范围.

解答 解:$α∈(0,\frac{π}{2})$,方程x2sinα+y2cosα=1即为
$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{sinα}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{cosα}}$=1,
∵焦点在y轴上,
∴$\frac{1}{sinα}$<$\frac{1}{cosα}$,
∴sinα>cosα,
即sinα>sin($\frac{π}{2}$-α),
∵0<α<$\frac{π}{2}$,
∴α>$\frac{π}{2}$-α,即$\frac{π}{4}$<α<$\frac{π}{2}$.
故选:D.

点评 本题主要考查了椭圆的标准方程和焦点位置,同时考查诱导公式及三角函数的性质,属于中档题.

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