【题目】如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四边形ACFE为矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1.
(Ⅰ)求证:BC⊥平面ACFE;
(Ⅱ)点M在线段EF上运动,设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ(θ≤90°),试求cosθ的取值范围.
【答案】解:(I)证明:在梯形ABCD中,
∵AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,
∴AB=2
∴AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos60°=3
∴AB2=AC2+BC2
∴BC⊥AC
∵平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE∩平面ABCD=AC,BC平面ABCD
∴BC⊥平面ACFE
(II)由(I)可建立分别以直线CA,CB,CF为x轴,y轴,z轴的如图所示空间直角坐标系,
令 ,则 ,B(0,1,0),M(λ,0,1)
∴
设 为平面MAB的一个法向量,
由 得
取x=1,则 ,
∵ 是平面FCB的一个法向量
∴
∵ ∴当λ=0时,cosθ有最小值 ,
当 时,cosθ有最大值 .
∴ .
【解析】(I)证明线面垂直可以利用面面垂直进行证明,即若两个平面垂直并且其中一个平面内的一条直线a与两个平面的交线操作时则直线a与另一个平面垂直,即可证明线面垂直.(II)建立空间坐标系,根据坐标表示出两个平面的法向量,结合向量的有关运算求出二面角的余弦的表达式,再利用函数的有关知识求出余弦的范围.
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识,掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】“微信运动”是腾讯开发的一个记录跑步或行走情况(步数里程)的公众号用户通过该公众号可查看自己某时间段的运动情况.某人根据2018年1月至2018年11月期间每月离步的里程(单位:十公里)的数据绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论正确的是( )
A.月跑步里程逐月增加
B.月跑步里程最大值出现在10月
C.月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数
D.1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小,变化比较平稳
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知定义在(0,+∞)上的连续函数y=f(x)满足:xf′(x)﹣f(x)=xex且f(1)=﹣3,f(2)=0.则函数y=f(x)( )
A.有极小值,无极大值
B.有极大值,无极小值
C.既有极小值又有极大值
D.既无极小值又无极大值
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4﹣4:极坐标与参数方程
极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位,以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴.已知曲线C1的极坐标方程为 ,曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a(a>0),射线 , 与曲线C1分别交异于极点O的四点A,B,C,D.
(Ⅰ)若曲线C1关于曲线C2对称,求a的值,并把曲线C1和C2化成直角坐标方程;
(Ⅱ)求|OA||OC|+|OB||OD|的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】小王每天自己开车上班,他在路上所用的时间(分钟)与道路的拥堵情况有关.小王在一年中随机记录了200次上班在路上所用的时间,其频数统计如下表,用频率近似代替概率.
(分钟) | 15 | 20 | 25 | 30 |
频数(次) | 50 | 50 | 60 | 40 |
(Ⅰ)求小王上班在路上所用时间的数学期望;
(Ⅱ)若小王一周上班5天,每天的道路拥堵情况彼此独立,设一周内上班在路上所用时间不超过的天数为,求的分布列及数学期望.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】从某工厂生产线上随机抽取16件零件,测量其内径数据从小到大依次排列如下(单位:):1.12,1.15,1.21,1.23,1.25,1.25,1.26,1.30,1.30,1.32,1.34,1.35,1.37,1.38,1.41,1.42,据此可估计该生产线上大约有25%的零件内径小于等于_____,大约有30%的零件内径大于_____.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知两个定点,动点满足.设动点的轨迹为曲线,直线.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)若与曲线交于不同的两点,且(为坐标原点),求直线的斜率;
(3)若, 是直线上的动点,过作曲线的两条切线,切点为,探究:直线是否过定点.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com