Question

【题目】定义域是一切实数的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）实数一个“λ一半随函数”，有下列关于“λ一半随函数”的结论：①若f（x）为“1一半随函数”，则f（0）=f（2）；②存在a∈（1，+∞）使得f（x）=ax为一个“λ一半随函数；③“ 一半随函数”至少有一个零点；④f（x）=x2是一个“λ一班随函数”；其中正确的结论的个数是（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①、若f（x）为“1一半随函数”，则f（x+1）+f（x）=0，可得f（x+1）=﹣f（x），

可得f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），因此x=0，可得f（0）=f（2）；故①正确；

②、假设f（x）=ax是一个“λ一半随函数”，则ax+λ+λax=0对任意实数x成立，

则有aλ+λ=0，而此式有解，所以f（x）=ax是“λ一半随函数”，故②正确．

③、令x=0，得f（ ）+ f（0）=0．所以f（ ）=﹣ f（0），

若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（ ）f（0）=﹣ （f（0））2＜0，

又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在（0， ）上必有实数根，

因此任意的“﹣ 一半随函数”必有根，即任意“﹣ 一半随函数”至少有一个零点．故③正确．

④、假设f（x）=x2是一个“λ一半随函数”，则（x+λ）2+λx2=0，

即（1+λ）x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立，所以λ+1=2λ=λ2=0，而此式无解，所以f（x）=x2不是一个“λ﹣同伴函数”．故④错误

正确判断：①②③．

故选：C．