Question

如图，正四面体ABCD各棱长均为1，P，Q分别在棱AB，CD上，且

1

3

≤AP=CQ≤

2

3

，则直线PQ与直线BD所成角的正切值的取值范围是

[

1

2

，2]

．

Answer 1

分析：作PE∥AC，连接EQ，由题意，EQ∥BD，PE⊥EQ，则∠PQE为直线PQ与直线BD所成角，再考虑两个极端位置，即可求得结论．

解答：解：作PE∥AC，连接EQ，由题意，EQ∥BD，PE⊥EQ，则∠PQE为直线PQ与直线BD所成角
①AP=CQ=

1

3

时，PE=

2

3

AC，EQ=

1

3

AC，∴tan∠PQE=

PE

EQ

=2；
②AP=CQ=

2

3

时，PE=

1

3

AC，EQ=

2

3

AC，∴tan∠PQE=

PE

EQ

=

1

2

，
∴直线PQ与直线BD所成角的正切值的取值范围是[

1

2

，2]
故答案为：[

1

2

，2]

点评：本题考查线线角，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．