Question

数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，且an+1=

an+an+2

2

(n∈N*)
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足bn=

1

an + an+1

(n∈N*)，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由an+1=

an+an+2

2

(n∈N*)，知数列{a_n}是等差数列，由a₁=1，a₂=2，知公差d=1，首项a₁=1，由此能求出a_n．
（2）由bn=

1

an + an+1

(n∈N*)，=

1

n + n+1

=

n+1

-

n

．知Sn=

1

a1 + a2

+

1

a2 + a3

+…+

1

an + an+1

=

2

-

1

+

3

-

2

+…+

n+1

-

n

，由此能求出
数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）∵an+1=

an+an+2

2

(n∈N*)
∴数列{a_n}是等差数列，
∵a₁=1，a₂=2，
∴公差d=1，首项a₁=1，
∴a_n=n．
（2）∵bn=

1

an + an+1

(n∈N*)，
=

1

n + n+1

=

n+1

-

n

．
∴Sn=

1

a1 + a2

+

1

a2 + a3

+…+

1

an + an+1

=

1

1 + 2

+

1

2 + 3

+…+

1

n + n+1

=

2

-

1

+

3

-

2

+…+

n+1

-

n

=

n+1

-1．

点评：本题考查数列的递推公式，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．