Question

【题目】已知曲线C的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C经过伸缩变换得到曲线E，直线（t为参数）与曲线E交于A，B两点．

（1）设曲线C上任一点为，求的最小值；

（2）求出曲线E的直角坐标方程，并求出直线l被曲线E截得的弦AB长．

Answer 1

【答案】（1）（2）；

【解析】

（1）由，得出曲线C的直角坐标方程，进而得出曲线C的参数方程，利用参数方程，设出的坐标，结合正弦函数的性质，即可得出答案；

（2）由伸缩变换得出曲线的直角坐标方程，将直线的参数方程可化为标准形式，并代入曲线的直角坐标方程，结合直线参数方程参数的几何意义，即可得出.

解：（1）根据，进行化简得

∴曲线C的参数方程（为参数）

设

∴

则当，即时，取最小值为

（2）∵，∴

代入C得．

将直线的参数方程可化为标准形式（t为参数）

代入曲线E方程得：（A，B处对应的参数为，）

∴

∴．