Question

已知函数f（x）=

3

sin²x+2sinx•cosx-

3

cos²x+a．
（1）若函数f（x）的最大值为3，求实数a的值；
（2）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用函数的倍角公式，结合辅助角公式将函数进行化简，利用函数f（x）的最大值为3，即可求实数a的值；
（2）根据函数的单调性即可，求f（x）的单调递增区间．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sin²x+2sinx•cosx-

3

cos²x+a=sin2x-

3

cos2x+a=2sin（2x-

π

3

）+a．
若函数f（x）的最大值为3，
即2+a=3，解得a=1；
（2）∵f（x）=2sin（2x-

π

3

）+a．
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z
∵x∈[0，

π

2

]，
∴当k=0，0≤x≤

5π

12

，
即f（x）的单调递增区间为[0，

5π

12

]．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的公式将函数进行化简是解决本题的关键．