Question

如图所示，已知直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长均为2a，侧棱长为a，∠ABC=60°，E、F分别是A₁B、A₁C的中点．
（1）求证：EF∥平面BB₁CC₁；
（2）求二面角A₁-BC-A的大小．

Answer 1

解：（1）因为E、F分别是A₁B、A₁C的中点；
所以，在△A₁BC中，EF∥BC，
而EF不在平面BB₁C₁C内；
BC在平面BB₁C₁C内；
∴EF∥平面BB₁C₁C；
（2）做AM⊥BC与M，连接A₁M，
∵是直平行六面体；
∴A₁A⊥平面ABCD，；
∴AA_1⊥BC，
故BC⊥平面A₁AM
所以CB⊥A₁M；
即∠A₁MA即为二面角A₁-BC-A的平面角；
在直角三角形A₁MA中，AM=ABsin∠ABM=2asin60°=a；
∴tan∠A₁MA===．
∴∠A₁MA=30°．
即二面角A₁-BC-A为30°．
分析：（1）欲证EF∥平面BB₁C₁C；关键在平面BB₁C₁C内寻找一直线与EF平行，由中位线易知EF∥BC，根据线面平行的判定定理可证得线面平行；
（2）做AM⊥BC与M，连接A₁M，根据条件可以证得∠A₁MA即为二面角A₁-BC-A的平面角；然后通过求三角形的边长即可得到结论．
点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力