Question

【题目】已知点A（﹣ ，0），B（ ，0），动点E满足直线EA与直线EB的斜率之积为﹣ ．
（1）求动点E的轨迹C的方程；
（2）设过点F（1，0）的直线l1与曲线C交于点P，Q，记点P到直线l2：x=2的距离为d．
（ⅰ）求 的值；
（ⅱ）过点F作直线l1的垂线交直线l2于点M，求证：直线OM平分线段PQ．

Answer 1

【答案】
（1）解：设E（x，y），

依题意得 ，

整理得 ，

∴动点E的轨迹C的方程为 ．

（2）解：（ⅰ）F（1，0），设P（x1，y1）则 ，

∴ =

= ．

（ⅱ）依题意，设直线PQ：x=my+1，Q（x2，y2），

联立 可得（2+m2）y2+2my﹣1=0，

显然 ，

所以线段PQ的中点T坐标为 ，

又因为FM⊥l1故直线FM的方程为y=﹣m（x﹣1），

所以点M的坐标为（2，﹣m），

所以直线OM的方程为： ，

因为 满足方程 ，

故OM平分线段PQ．

【解析】（1）直译法，利用斜率公式可求轨迹方程；（2）先设出直线l1的方程，然后带入椭圆方程，通过消元化简得到关于x的一元二次方程，结合韦达定理，点到直线距离公式将所求表示出来，带入结论化简即可；（3）要证结论，只需分别求出直线OM的方程，PQ中点的坐标，然后证明坐标适合方程即可．