【题目】数列{an}是公差d不为0的等差数列,a1=2,Sn为其前n项和.
(1)当a3=6时,若a1 , a3 , , …, 成等比数列(其中3<n1<n2<…<nk),求nk的表达式;
(2)是否存在合适的公差d,使得{an}的任意前3n项中,前n项的和与后n项的和的比值等于定常数?求出d,若不存在,说明理由.
【答案】
(1)解:数列{an}的公差d= = =2.
∴an=2+2(n﹣1)=2n,
另一方面,a1,a3, , …, 成等比数列(其中3<n1<n2<…<nk),
∴q= =3.
∴ ═a13k+2﹣1=2nk,
∴nk=3k+1.
(2)解:等差数列{an}中,Sn=na1+ = n2+ n,
S3n﹣S2n= ﹣ = n2+ ,
令S3n﹣S2n=λSn,则 n2+ =λ[ n2+ n],
∴ ,解得 或 (舍去).
∴d=4,满足题意,且定 常数为5
【解析】(1)数列{an}的公差d= ,可得:an=2n.另一方面,a1 , a3 , , …, 成等比数列(其中3<n1<n2<…<nk),可得q= .利用等比数列的通项公式即可得出.(2)等差数列{an}中,Sn= n2+ n,可得S3n﹣S2n , 令S3n﹣S2n=λSn , 解出即可得出.
【考点精析】利用数列的前n项和对题目进行判断即可得到答案,需要熟知数列{an}的前n项和sn与通项an的关系.
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【题目】设椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2 , P是椭圆上一点,|PF1|=λ|PF2|( ≤λ≤2),∠F1PF2= ,则椭圆离心率的取值范围为( )
A.(0, ]
B.[ , ]
C.[ , ]
D.[ ,1)
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【题目】近几年,由于环境的污染,雾霾越来越严重,某环保公司销售一种PM2.5颗粒物防护口罩深受市民欢迎.已知这种口罩的进价为40元,经销过程中测出年销售量y(万件)与销售单价x(元)存在如图所示的一次函数关系,每年销售这种口罩的总开支z(万元)(不含进价)与年销量y(万件)存在函数关系z=10y+42.5.
(I)求y关于x的函数关系;
(II)写出该公司销售这种口罩年获利W(万元)关于销售单价x(元)的函数关系式
(年获利=年销售总金额﹣年销售口罩的总进价﹣年总开支金额);当销售单价x为何值时,年获利最大?最大获利是多少?
(III)若公司希望该口罩一年的销售获利不低于57.5万元,则该公司这种口罩的销售单价应定在什么范围?在此条件下要使口罩的销售量最大,你认为销售单价应定为多少元?
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【题目】在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足 = + . (Ⅰ)求证:A,B,C三点共线;
(Ⅱ)已知A(1,cosx),B(1+sinx,cosx),x∈[0, ],f(x)= ﹣(2m2+ )| |的最小值为 ,求实数m的值.
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【题目】在三棱锥S﹣ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2 ,M为AB的中点.
(1)求证:AC⊥SB;
(2)求二面角S﹣CM﹣A的平面角的余弦值.
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,所有棱长均为2,O是底面正方形ABCD中心,E为PC中点,则直线OE与直线PD所成角为( )
A.30°
B.60°
C.45°
D.90°
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【题目】如图所示,在矩形ABCD中,AD=2,AB=1,点E是AD的中点,将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置,使二面角D′﹣EC﹣B是直二面角.
(1)证明:BE⊥CD′;
(2)求二面角D′﹣BC﹣E的余弦值.
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【题目】下列4个命题,其中正确的命题是 ①“ ”是“ 不共线”的充要条件;
②已知向量 是空间两个向量,若 ,则向量 的夹角为60°;
③抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值是 ;
④与两圆A:(x+5)2+y2=49和圆B:(x﹣5)2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为 .
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