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已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,抛物线上一点A的横坐标为x1(x1>0),过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D,交y轴于点Q,交直线l:y=
p2
于点M,当|FD|=2时,∠AFD=60°.
(Ⅰ)求证:△AFQ为等腰三角形,并求抛物线C的方程;
(Ⅱ)若B位于y轴左侧的抛物线C上,过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P,交直线l于点N,求△PMN面积的最小值,并求取到最小值时的x1值.
分析:(Ⅰ)设A的坐标,可得切线AD的方程,从而可得D、Q的坐标,进而可得|FQ|=|FA|,即△AFQ为等腰三角形,且D为AQ的中点,利用|DF|=2,∠AFD=60°,即可求抛物线方程;
(II)求出B处的切线方程,与切线AD的方程联立,可得P的坐标,求出M,N的坐标,可得△PMN面积,设AB的方程与抛物线方程联立,利用韦达定理,化简面积表达式,再利用导数的方法,可求面积的最小值,从而可得结论.
解答:(Ⅰ)证明:设A(x1,y1),则切线AD的方程为y=
x1
p
x-
x
2
1
2p
,所以D(
x1
2
,0),Q(0,-y1
∴|FQ|=
p
2
+y1
,|FA|=
p
2
+y1
,∴|FQ|=|FA|,∴△AFQ为等腰三角形,且D为AQ的中点
∴DF⊥AQ
∵|DF|=2,∠AFD=60°
∴∠QFD=60°,
p
2
=1
∴p=2
∴抛物线方程为x2=4y;
(II)解:设B(x2,y2)(x2<0),则B处的切线方程为y=
x2
2
x-
x
2
2
4
,与y=
x1
2
x-
x
2
1
4
联立,可得P(
x1+x2
2
x1x2
4

y=
x1
2
x-
x
2
1
4
y=1
,可得M(
x1
2
+
2
x1
,1)
同理N(
x2
2
+
2
x2
,1),所以面积S=
1
2
[(
x1
2
+
2
x1
)-(
x2
2
+
2
x2
)](1-
x1x2
4
)=
(x2-x1)(4-x1x2)2
16x1x2
…①
设AB的方程为y=kx+b,则b>0
y=kx+b
x2=4y
,消去y可得x2-4kx-4b=0,得x1+x2=4k,x1x2=-4b代入①得:
S=
16k2+16b
(4+4b)2
64b
=
(1+b)2
k2+b
b
,要使面积最小,则k=0得到S=
(1+b)2
b
b

b
=t
,②得S(t)=
(1+t2)2
t
=t3+2t+
1
t
,S′(t)=
(3t2-1)(t2+1)
t2

所以当t∈(0,
3
3
)时,S(t)单调递减;当t∈(
3
3
,+∞)时,S(t)单调递增,
所以当t=
3
3
时,S取到最小值为
16
3
9
,此时b=t2=
1
3
,k=0,
所以y1=
1
3
x1=
2
3
3
点评:本题考查抛物线方程,考查直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理的运用,考查三角形面积的计算,考查导数知识的运用,综合性强.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线C:x2=2py(p>0),其焦点F到准线的距离为
12

(1)试求抛物线C的方程;
(2)设抛物线C上一点P的横坐标为t(t>0),过P的直线交C于另一点Q,交x轴于M,过点Q作PQ的垂线交C于另一点N,若MN是C的切线,求t的最小值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线C:x2=
12
y
和定点P(1,2),A、B为抛物线C上的两个动点,且直线PA和PB的斜率为非零的互为相反数.
(I)求证:直线AB的斜率是定值;
(II)若抛物线C在A、B两点处的切线相交于点M,求M的轨迹方程;
(III)若A′与A关于y轴成轴对称,求直线A′B与y轴交点P的纵坐标的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线C:x2=2py,过点A(0,4)的直线l交抛物线C于M,N两点,且OM⊥ON.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点N作y轴的平行线与直线y=-4相交于点Q,若△MNQ是等腰三角形,求直线MN的方程.K.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线C:x2=ay(a>0),斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F,交抛物线于A,B两点,且抛物线上一点M(2
2
 , m) (m>1)
到点F的距离是3.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若k>0,且
AF
=3
FB
,求k的值.
(Ⅲ)过A,B两点分别作抛物线的切线,这两条切线的交点为点Q,求证:
AB
 • 
FQ
=0

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线C:x2=2my(m>0)和直线l:y=x-m没有公共点(其中m为常数).动点P是直线l上的任意一点,过P点引抛物线C的两条切线,切点分别为M、N,且直线MN恒过点Q(1,1).
(1)求抛物线C的方程;
(2)已知O点为原点,连接PQ交抛物线C于A、B两点,求
|PA|
|
PB|
-
|
QA|
|
QB|
的值.

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