【题目】如图,四棱锥中,底面
是矩形,面
面
,且
是边长为2的等边三角形,
,
在
上,且
面
(1)求证: 是
的中点;
(2)求直线与
所成角的正切值;
(3)在上是否存在点
,使二面角
为直角?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)见解析(2) (3)
【解析】试题分析:(1)连接AC交BD于E,连接ME,可得PA∥面MBD,且ME是平面PAC与平面MDB的交线,得PA∥ME,即M是PC的中点;
(2)取AD中点,由(1)知OA、OE、OP两两垂直,分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,求出所成角的余弦值,得到正弦值,进一步得到直线PA与MB所成角的正切值;
(3)设在PA上是否存在点F,使二面角F﹣BD﹣M为直角,且,则由
,得F(1﹣λ,0,
),分别求出平面MBD与平面FBD的一个法向量,由两法向量垂直求得λ值,可得存在点F,使二面角F﹣BD﹣M为直角,此时
.
试题解析:
(1)证明:连交
于
,连
.∵
是矩形,∴
是
中点.又
面
,且
是面
与面
的交线,∴
,∴
是
的中点.
(2)取中点
,由(1)
,
,
两两垂直.以
为原点,
,
,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系(如图),则各点坐标为
,
,
,
,
,
.
(3)设存在满足要求,且
,则由
得
,
平面的一个法向量为
,
平面的一个法向量为
,
,得
,解得
,故存在
,使二面角
为直角,此时
.
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【题目】如图,AB是圆O的直径,C是圆O上不同于A,B的一点,PA⊥平面ABC,E是PC的中点,,PA=AC=1.
(1)求证:AE⊥PB;
(2)求三棱锥C-ABE的体积.
(3)求二面角A-PB-C的正弦值.
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【题目】记分别为函数
的导函数.若存在
,满足
且
,则称
为函数
与
的一个“S点”.
(1)证明:函数与
不存在“S点”;
(2)若函数与
存在“S点”,求实数a的值;
(3)已知函数,
.对任意
,判断是否存在
,使函数
与
在区间
内存在“S点”,并说明理由.
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【题目】下列说法不正确的个数有( )
甲、乙两学生参与某考试,设命题:甲考试及格,
:乙考试及格,则命题“至少有一位学生不及格”可表示为
.命题“对
,都有
”的否定为“
,使得
”.“若
,则
”是假命题.④“
”是“
”的必要不充分条件.⑤函数
是偶函数
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
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【题目】某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取辆纯电动汽车调查其续驶里程(单次充电后能行驶的最大里程),被调查汽车的续驶里程全部介于
公里和
公里之间,将统计结果分成
组:
,
,
,
,
,绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中的值;
(2)求续驶里程在的车辆数;
(3)若从续驶里程在的车辆中随机抽取
辆车,求其中恰有一辆车的续驶里程在
内的概率.
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【题目】的内角
的对边分别为
,下列四个命题中正确的是( )
A.若,则
一定是锐角三角形
B.若,则
一定是等边三角形
C.若,则
一定是等腰三角形
D.若,则
一定是等腰三角形
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【题目】海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞,若要测量如图所示的蓝洞的口径,
两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点
,
,测得
,
,
,
,则
,
两点的距离为___.
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