Question

（2011•绵阳一模）已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（

1

2

）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

）．又数列{a_n}满足，a₁=

1

2

，a_n+1=

2an

1+an2

．
（I ）证明：f（x）在（-1，1）上是奇函数
（ II ）求f（a_n）的表达式；
（III）设b_n=

1

2log2|f(an+1)

，T_n为数列{b_n}的前n项和，若T_2n+1-T_n≤

m

15

（其中m∈N^*）对N∈N^*恒成立，求m的最小值．

Answer 1

分析：（I）利用赋值法先求出f（0）的值，然后令x=0，y∈（-1，1）可得f （-y）=-f （y），然后根据奇函数的定义可得结论；
（II）令x=a_n，y=-a_n，可得f （a_n）与f （a_n+1）的关系，从而可知数列{f（a_n）}是以f（a₁）=f（

1

2

）=-1为首项，2为公比的等比数列，从而求出所求；
（III）先求出b_n，表示出前n项和T_n，然后根据T_2n+1-T_n≤

m

15

（其中m∈N^*）对N∈N^*恒成立，只需利用单调性研究T_2n+1-T_n的最大值，建立不等式关系，解之即可．

解答：（Ⅰ）证明：令x=y=0时，则由已知有f（0）-f（0）=f（

0-0

1-0×0

），
可解得f （0）=0．
再令x=0，y∈（-1，1），则有f（0）-f（y）=f（

0-y

1-0•y

），即f （-y）=-f （y），
∴f （x）是（-1，1）上的奇函数．…（4分）
（Ⅱ）解：令x=a_n，y=-a_n，于是f（a_n）-f（-a_n）=f（

2an

1+ a 2 n

），
由已知得2f （a_n）=f （a_n+1），
∴

f(an+1)

f(an)

=2，
∴数列{f（a_n）}是以f（a₁）=f（

1

2

）=-1为首项，2为公比的等比数列．
∴f（a_n）═1×2^n-1=-2^n-1…（8分）
（III）解：由（II）得f（a_n+1）=-2ⁿ，于b_n=

1

2n

．
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=

1

2

（1+

1

2

+

1

3

+…

1

n

），
T_2n+1=

1

2

（1+

1

2

+

1

3

+…

1

2n+1

），
∴T_2n+1-T_n=

1

2

（

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n+1

）．
令k（n）=

1

2

（

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n+1

）．
于是k（n+1）=

1

2

（

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+3

）．
∴k（n+1）-k（n）=

1

2

（

1

2n+2

+

1

2n+3

-

1

n+1

）=-

1

4(n+1)(2n+3)

＜0．
∴k（n+1）＜k（n），即k（n）在N*上单调递减，
∴k（n）_max=k（1）=T₃-T₁=

5

12

，
∴

m

15

≥

5

12

即m≥

25

4

．
∵m∈N^*，
∴m的最小值为7．…（12分）

点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，以及函数的奇偶性和数列的求和，同时考查了转化的思想和计算能力，属于难题．