Question

已知角A、B、C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，且A=

π

3

．
（1）若a=2．cosB=

3

3

，求b的长；
（2）设∠A的对边a=1，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）由cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由a，sinA的值，利用正弦定理即可求出b的值；
（2）由cosA，a的值，利用余弦定理列出关系式，并利用基本不等式求出bc的最大值，再由sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．

解答：解：（1）在△ABC中，A=

π

3

，a=2，cosB=

3

3

，
∴sinB=

1-cos2B

=

1- 1 3

=

6

3

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，得：b=

asinB

sinA

=

2× 6 3

3 2

=

4 2

3

；
（2）当∠A=

π

3

，a=1时，cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

b2+c2-1

2bc

=

1

2

，
即b²+c²-1=bc，
又b²+c²≥2bc，
∴1=b²+c²-bc≥bc，即bc≤1，当且仅当b=c时等号成立，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA≤

1

2

×1×

3

2

=

3

4

，
则△ABC面积的最大为

3

4

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．