Question

15．设定义在R上的函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{|x-2|}，x≠2}\\{1，x=2}\end{array}\right.$，若关于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有三个不同的实数解x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，则下列说法中错误的是（　　）

• A． x₁²+x₂²+x₃²=14
• B． 1+a+b=0
• C． a²-4b=0
• D． x₁+x₃=0

Answer 1

分析 题中f²（x）+af（x）+b=0有三个不同的实数解，即要求对应于f（x）等于某个常数有3个不同实数解，结合题意可知f（x）=1，由此可得选项A、B、C正确，D错误．

解答 解：令t=f（x），由关于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有三个不同的实数解，
可知方程t²+at+b=0有两个相等的实数根t₁=t₂=1，
∴a²-4b=0，则1+a+b=0，
由$\frac{1}{|x-2|}=1$，得x=1或x=3，
∴x₁²+x₂²+x₃²=1²+2²+3²=14．
∴错误的说法为x₁+x₃=0．
故选：D．

点评 本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及函数的图象与方程之间的关系，属于基础题．