Question

已知函数f(x)=

3

sinωx+cosωx．
（1）当函数f（x）的图象经过点M(

2π

3

，2)，且0＜ω＜1时，求ω的值；
（2）当若ω=2时，求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）根据正弦函数两角和公式化简f（x），使f（x）=2sin（ωx+

π

6

），把点m代入f（x）求出ω的值
（2）依据ω=2，可得f（x）的解析式．然后根据正弦函数的单调性求出函数f（x）的最大和最小值．

解答：解：（1）f（x）=

3

sinωx+cosωx=2（

3

2

sinωx+

1

2

cosωx）=2sin（ωx+

π

6

）
∵函数f（x）的图象经过点M(

2π

3

，2)
∴f（

2π

3

）=2sin（

2π

3

ω+

π

6

）=2
∴sin（

2π

3

ω+

π

6

）=1
∴

2π

3

ω+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z
∴ω=3k+

1

2

∵0＜ω＜1
∴ω=

1

2

（2）ω=2时，f（x）=2sin（2x+

π

6

）
∵x∈[0，

π

2

]
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∴当2x+

π

6

=

π

2

时，即x=

π

6

时，[f（x）]_max=2
当2x+

π

6

=

7π

6

时，即x=

π

2

时，[f（x）]_min=-1

点评：本题主要考查三角函数两角和公式和正弦函数的性质．属基础题．