Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 通项公式为 ． （Ⅰ）计算f（1），f（2），f（3）的值；
（Ⅱ）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知 ， ， ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知f（1）＞1，f（2）＞1；当n≥3时，猜想：f（n）＜1．（4分）
下面用数学归纳法证明：
①由（Ⅰ）当n=3时，f（n）＜1；
②假设n=k（k≥3）时，f（n）＜1，即 ，那么 = = = ，
所以当n=k+1时，f（n）＜1也成立．由（1）和（2）知，当n≥3时，f（n）＜1．
所以当n=1，和n=2时，f（n）＞1；当n≥3时，f（n）＜1
【解析】（1）此问根据通项公式计算出前n项的和．当n=1时，f（1）=s2；当n=2时，f（2）=s4﹣s1=a2+a3；当n=3时，f（3）=s6﹣s2 ． （2）当n=1时， ≥1．当n≥2时，f（n）中没有a1 ， 因此都小于1．
【考点精析】掌握数列的通项公式是解答本题的根本，需要知道如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．