分析 (1)利用数量积运算性质、倍角公式、和差公式可得f(x),再利用余弦函数的单调性与值域即可得出最值;
(2)利用余弦函数的单调性和对称中心即可求出.
解答 解:(1)$f(x)=\overrightarrow a•\overrightarrow b=6{cos^2}x-2\sqrt{3}sinxcosx$=$3cos2x-\sqrt{3}sin2x+3=2\sqrt{3}(\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x-\frac{1}{2}sin2x)+3$=$2\sqrt{3}cos(2x+\frac{π}{6})+3$,
则当$cos(2x+\frac{π}{6})=1$时,即$2x+\frac{π}{6}=2kπ$,
也即$x=kπ-\frac{π}{12}(k∈Z)$时,函数f(x)的最大值为$2\sqrt{3}+3$,
此时x取值的集合为$\left\{{x\left|{x=kπ-\frac{π}{12}(k∈Z)}\right.}\right\}$;
(2)∵要求函数$f(x)=2\sqrt{3}cos(2x+\frac{π}{6})+3$的单调增区间,
∴$2kπ+π<2x+\frac{π}{6}<2kπ+2π$,即$kπ+\frac{5π}{12}<x<kπ+\frac{11π}{12}(k∈Z)$,
即函数f(x)的单调增区间为$(kπ+\frac{5π}{12},kπ+\frac{11π}{12})(其中k∈Z)$,
又令f(x)=3,则$cos(2x+\frac{π}{6})=0$,
即$2x+\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2}$,也即$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}(k∈Z)$,
则图象对称中心点的坐标为$(\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6},3)(其中k∈Z)$.
点评 本题考查了数量积运算性质、倍角公式、和差公式、余弦函数的单调性与值域,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 充分不必要条件 | B. | 必要不充分条件 | ||
C. | 充分必要条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (-∞,-1]∪(1,3] | B. | [-1,1)∪[3,+∞) | C. | (-∞,-1]∪[3,+∞) | D. | [-1,1)∪(1,3] |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{4}{9}$ | B. | $\frac{5}{9}$ | C. | $\frac{1}{3}$ | D. | $\frac{2}{3}$ |
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