Question

1．已知函数f（x）=$\frac{2x-1}{x+1}$，x∈[3，5]．
（Ⅰ）判断函数在区间[3，5]上的单调性，并给出证明；
（Ⅱ）求该函数的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函数f（x）在[3，5]上单调递增．运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论；
（Ⅱ）运用f（x）在[3，5]上单调递增，计算即可得到最值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）在[3，5]上单调递增．
证明：设任意x₁，x₂，满足3≤x₁＜x₂≤5．
∵f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2{x}_{1}-1}{{x}_{1}+1}$-$\frac{2{x}_{2}-1}{{x}_{2}+1}$
=$\frac{（2{x}_{1}-1）（{x}_{2}+1）-（2{x}_{2}-1）（{x}_{1}+1）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$
=$\frac{3（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$，
∵3≤x₁＜x₂≤5，∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂＜0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）=$\frac{2x-1}{x+1}$在[3，5]上为增函数．
（Ⅱ）f（x）_min=f（3）=$\frac{2×3-1}{3+1}$=$\frac{5}{4}$；
f（x）_max=f（5）=$\frac{2×5-1}{5+1}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查函数的单调性的判断和证明，考查函数的最值的求法，注意运用单调性，属于基础题．