Question

11．已知数列{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，且a₁=b₁=2，b₄=54，a₁+a₂+a₃=b₂+b₃-3．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）数列{c_n}满足c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由${b_4}={b_1}{q^3}$，解得q=3，a₁+a₂+a₃=3a₂=b₂+b₃=6+18=24得a₂=8，利用等差等比的通项公式即可得；（2）${c_n}={a_n}{b_n}=4•（3n-2）•{3^{n-1}}$，利用错位相减求和即可．

解答 解：（1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，
由${b_4}={b_1}{q^3}$，得${q^3}=\frac{54}{2}=27$，从而q=3．
因此${b_n}={b_1}•{q^{n-1}}=2•{3^{n-1}}$，
又a₁+a₂+a₃=3a₂=b₂+b₃=6+18=24，∴a₂=8，
从而d=a₂-a₁=6，故a_n=a₁+（n-1）•6=6n-4．
（2）${c_n}={a_n}{b_n}=4•（3n-2）•{3^{n-1}}$，
令${T_n}=1×{3^0}+4×{3^1}+7×{3^2}+…+（3n-2）•{3^{n-1}}$，$3{T_n}=1×{3^1}+4×{3^2}+7×{3^3}+…+（3n-2）•{3^n}$，
两式相减得$-2{T_n}=1+3×{3^1}+3×{3^2}+…+3•{3^{n-1}}-（3n-2）•{3^n}=1+3×\frac{{3（{3^{n-1}}-1）}}{3-1}-（3n-2）•{3^n}$=$1+\frac{{9（{3^{n-1}}-1）}}{2}-（3n-2）•{3^n}$，∴${T_n}=\frac{7}{4}+\frac{{{3^n}（6n-7）}}{4}$，
又${S_n}=4{T_n}=7+（6n-7）•{3^n}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．