Question

设f（x）=2x²-lnx在区间（k-1，k+1）上不是单调函数，其中（k-1，k+1）是f（x）定义域区间的一个子区间，则k的取值范围是

[1，

3

2

)

．

Answer 1

分析：先求导函数，再进行分类讨论，同时将函数f（x）=2x²-lnx在其定义域的一个子区间（k-1，k+1）内不是单调函数，转化为f′（x）在其定义域的一个子区间（k-1，k+1）内有正也有负，从而可求实数k的取值范围．

解答：解：求导函数，f′（x）=4x-

1

x

①当k=1时，（k-1，k+1）为（0，2），函数在（0，

1

2

）上单调减，在（

1

2

，2）上单调增，满足题意；
②当k≠1时，∵函数f（x）=2x²-lnx在其定义域的一个子区间（k-1，k+1）内不是单调函数
∴f′（x）在其定义域的一个子区间（k-1，k+1）内有正也有负
∴f′（k-1）f′（k+1）＜0
∴（4k-4-

1

k-1

）（4k+4-

1

k+1

）＜0
∴

4k2-8k+3

k-1

×

4k2+8k+3

k+1

＜0
∴

(2k-3)(2k-1)(2k+3)(2k+1)

(k-1)(k+1)

＜0
∵k-1＞0
∴k+1＞0，2k+1＞0，2k+3＞0，
∴（2k-3）（2k-1）＞＜0，解得1＜k＜

3

2

综上知k的取值范围是[1，

3

2

)，
故答案为：[1，

3

2

)．

点评：本题以函数为载体，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，分类讨论，等价转化是关键．