Question

(理)设A={x|x≠kπ+,k∈Z},已知a=(2cos,sin),b=(cos,3sin),其中α、β∈A,

(1)若α+β=,且a=2b,求α,β的值;

(2)若a·b=,求tanαtanβ的值.

(文)已知函数f(x)=-x²+4,设函数F(x)=

(1)求F(x)的表达式;

(2)解不等式1≤F(x)≤2;

(3)设mn＜0,m+n＞0,判断F(m)+F(n)能否小于0?

Answer 1

答案：(理)解:(1)∵α+β=,∴a=(1,sin(α)),b=(,3sin(α)).

由a=2b,得sin(α)=0,∴α=kπ+,β=-kπ+,k∈Z.

(2)∵a·b=2cos²+3sin²=1+cos(α+β)+3×

=+cos(α+β)-cos(α-β)=,

∴cos(α+β)=cos(α-β).展开,得2cosαcosβ-2sinαsinβ=3cosαcosβ+3sinαsinβ,

即-5sinαsinβ=cosαcosβ,∵α、β∈A,∴tanαtanβ=.

(文)解:(1)F(x)=

(2)当x＞0时,解不等式1≤-x²+4≤2,得≤x≤;

当x＜0时,解不等式1≤x²-4≤2,得≤x≤-5.

综合上述不等式的解为≤x≤或≤x≤.

(3)∵mn＜0,不妨设m＞0,则n＜0,又m+n＞0,∴m＞-n＞0.∴|m|＞|n|.

∴F(m)+F(n)=-m²+4+n²-4=n²-m²＜0,即F(m)+F(n)能小于0.