如图所示，离心率为
的椭圆
上的点到其左焦点的距离的最大值为3，过椭圆
内一点
的两条直线分别与椭圆交于点
、
和
、
，且满足
，其中
为常数，过点作
的平行线交椭圆于
、
两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点
，求直线
的方程，并证明点平分线段.
（1）
；（2）详见解析．
解析试题分析：（1）由题得
，
，联立
解这个方程组即得.（2）首先求出直线MN的方程.由于MN过点P（1，1），故只要求出MN的斜率即可.又由于MN平行AB，故先求出直线AB的斜率.设
，则
.由
可得点C的坐标，由
可得点D的坐标，将A、B、C、D的坐标代入椭圆方程得四个等式，利用这四个等式可整体求出，然后求出直线MN的方程，与椭圆方程联立可求得MN的中点坐标即为点P的坐标，从而问题得证 .
（1）由题得，，联立 解得
，
，
，
∴椭圆方程为 4分
（2）方法一：设，由可得
.
∵点在椭圆上，故
整理得：
6分
又点在椭圆上可知
，
故有
①
由，同理可得：
②
②-①得：
，即
9分
又∥，故
∴直线的方程为：
，即
.
由
可得：
∴是的中点，即点平分线段 12分
（2）方法二：∵，，∴
，即
在梯形
中，设中点为
，
中点为
，
过作的平行线交
于点
∵
与
面积相等，∴
∴，，三点共线 6分
设
，
∴
，
，
两式相减得 
，
科目：高中数学 来源： 题型：解答题
设
分别是椭圆
的 左，右焦点。
（1）若P是该椭圆上一个动点，求
的 最大值和最小值。
（2）设过定点M(0,2)的 直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l斜率k的取值范围。
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C1：
的左焦点为F1（-1,0），且点P（0,1）在C1上。
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：
相切，求直线l的方程.
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如图，椭圆
的离心率为
，
轴被曲线
截得的线段长等于
的长半轴长。
（1）求，
的方程；
（2）设与
轴的交点为M，过坐标原点O的直线
与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.
①证明：
；
②记△MAB,△MDE的面积分别是
.问：是否存在直线,使得
=
?请说明理由。
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给定椭圆
．称圆心在原点O，半径为
的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为
，其短轴上的一个端点到F的距离为
．
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程；
(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线
，使得
与椭圆C都只有一个交点，试判断是否垂直？并说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在
轴上，有一个顶点为
，
．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点
作直线
与椭圆交于
两点，线段
的中点为
,求直线
的斜率
的取值范围.
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已知椭圆
的离心率为
，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设
，过点
作直线
(不与
轴重合)交椭圆于
、
两点，连结
、
分别交直线
于
、
两点，试探究直线
、
的斜率之积是否为定值，若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由．
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已知抛物线C：
，点A、B在抛物线C上.
（1）若直线AB过点M（2p，0），且
=4p，求过A，B，O（O为坐标原点）三点的圆的方程；
（2）设直线OA、OB的倾斜角分别为
，且
，问直线AB是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标，若不是，请说明理由.
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的最小值及此时P点的坐标．