Question

已知实数a同时满足下列两个条件：
①函数f（x）=lg（x²-2ax+a²-a+1）的定义域为R；
②对任意的实数x，不等式2x+|2x-3a|＞1恒成立．
（1）求实数a的取值范围；
（2）在①的条件下，求关于x的不等式log_a（-2x²+3x）＞0的解集．

Answer 1

分析：（1）先分别求出满足条件①的a的取值范围和满足条件②的a的取值范围，然后取这两个取值范围的公共部分就是实数a的取值范围．
（2）在①的条件下，不等式log_a（-2x²+3x）＞0?

-2x2+3x＞0 -2x2+3x＜1

，解这个不等式组可得答案．

解答：解：（1）求满足条件①的a的取值范围，
函数f（x）的定义域为R?x取任意实数时，
x²-2ax+a²-a+1＞0恒成立?△＜0，
即△=（-2a）²-4（a²-a+1）＜0
解得：a＜1．
求满足条件②的a的取值范围
设g(x)=2x+|2x-3a|=

4x-3a，x≥ 3 2 a 3a，x＜ 3 2 a

由x≥

3a

2

可得，
4x≥6a，得4x-3a≥3a．
说明：当x≥

3a

2

时，g(x)≥3a
又当x＜

3a

2

时g(x)=3a
∴对任意的实数x，恒有g（x）≥3a
要使得x取任意实数时，不等式2x+|2x-3a|＞1恒成立，
须且只须3a＞1，解得a＞

1

3

由①②可得，同时满足条件（i）、（ii）的实数a的取值范围为：

1

3

＜a＜1．
（2）∵

1

3

＜a＜1，∴不等式log_a（-2x²+3x）＞0?

-2x2+3x＞0 -2x2+3x＜1

?

2x2-3x＜0 2x2-3x+1＞0

?

0＜x＜ 3 2 x＜ 1 2 或x＞1

，∴0＜x＜

1

2

或1＜x＜

3

2

．∴不等式log_a（-2x²+3x）＞0的解集是：{x|0＜x＜

1

2

或1＜x＜

3

2

}．

点评：本题比较难，解题时要注意等价转化，从而降低解题难度．