Question

【题目】已知函数f（x）=1﹣ 在R上是奇函数．
（1）求a；
（2）对x∈（0，1]，不等式sf（x）≥2x﹣1恒成立，求实数s的取值范围；
（3）令g（x）= ，若关于x的方程g（2x）﹣mg（x+1）=0有唯一实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知f（0）=0．即 ，

所以a=2．此时f（x）= ，

而f（﹣x）= ，

所以f（x）为奇函数，故a=2为所求

（2）解：由（1）知 ，

因为x∈（0，1]，所以2x﹣1＞0，2x+1＞0，

故sf（x）≥2x﹣1恒成立等价于s≥2x+1恒成立，

因为2x+1∈（2，3]，所以只需s≥3即可使原不等式恒成立．

故s的取值范围是[3，+∞）

（3）解：因为 ．

所以g（2x）﹣mg（x+1）= ．

整理得22x﹣2m2x﹣m+1=0．

令t=2x＞0，则问题化为t2﹣2mt﹣m+1=0有一个正根或两个相等正根．

令h（t）=t2﹣2mt﹣m+1（t＞0），则函数h（t）=t2﹣2mt﹣m+1在（0，+∞）上有唯一零点．

所以h（0）≤0或 ，

由h（0）≤0得m≥1，

易知m=1时，h（t）=t2﹣2t符合题意；

由 解得 ，

所以m= ．

综上m的取值范围是

【解析】（1）根据f（0）=0可求得a的值，然后验证a的取值满足函数为奇函数；（2）分离参数法，将问题转化为函数的最值问题求解；（3）可先将方程化简，然后问题转化为一元二次方程在指定区间上根的分布问题，然后再进一步求解．
【考点精析】本题主要考查了函数奇偶性的性质的相关知识点，需要掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇才能正确解答此题．