Question

【题目】如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，为棱上一点，且平面.

（1）证明：为中点；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）锐二面角的余弦值为.

【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，利用，证得四边形为平行四边形，则，所以为的中点；

（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨令正方体的棱长为2，利用两个面的法向量求解即可.

试题解析：

（1）证明：取的中点，连接，因为，所以为的中点，又为的中点，所以，因为平面，平面，平面平面，所以，即，又，所以四边形为平行四边形，则，所以为的中点.

（2）解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨令正方体的棱长为2，则，可得，，设是平面的法向量，则.令，得.

易得平面的一个法向量为，

所以 .

故所求锐二面角的余弦值为.