Question

（2012•天津模拟）已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且满足以下条件：①f（x）=a^x-g（x）（a＞0，且a≠1）；②g（x）≠0；③f（x）•g′（x）＞f′（x）•g（x）．若

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，则a等于（　　）

• A．

  1

  2

• B．2
• C．

  5

  4

• D．2或

  1

  2

Answer 1

分析：先根据

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

得到含a的式子，求出a的两个值，再由已知，利用导数判断函数

f(x)

g(x)

=ax的单调性求a的范围，判断a的两个之中哪个成立即可．

解答：解：由

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

得 a1+a-1=

5

2

，
所以 a=2或a=

1

2

．
又由f（x）•g'（x）＞f'（x）•g（x），即f（x）g'（x）-f'（x）g（x）＞0，也就是 [

f(x)

g(x)

]′=-

f(x)g′(x)-g(x)f′(x)

g2(x)

＜0，说明函数

f(x)

g(x)

=ax是减函数，
即 0＜a＜1，故a=

1

2

，故 a=

1

2

．
故选A．

点评：本题考查了应用导数判断函数的单调性，做题时应认真观察，属于中档题．