Question

在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)左、右顶点分别为A、B，椭圆C的右焦点为F，
过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S，若线段RS的长为

10

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设Q（t，m）是直线x=9上的点，直线QA、QB与椭圆C分别交于点M、N，求证：直线MN必过x轴上的一定点，并求出此定点的坐标．

Answer 1

（1）依题意，椭圆过点(2，

5

3

)，
故

4 a2 + 25 9b2 =1 a2-b2=4

，
解得

a2=9 b2=5

．…（3分）
椭圆C的方程为

x2

9

+

y2

5

=1．…（4分）
（2）设Q（9，m），直线QA的方程为y=

m

12

(x+3)，…（5分）
代入椭圆方程，得（80+m²）x²+6x+9m²-720=0，…（6分）
设M（x₁，y₁），则-3x1=

9m2-720

m2+80

⇒x1=

240-3m2

m2+80

，…（7分）
y1=

m

12

(x1+3)=

m

12

(

240-3m2

m2+80

+3)=

40m

m2+80

，
故点M的坐标为(

240-3m2

m2+80

，

40m

m2+80

)．…（8分）
同理，直线QB的方程为y=

m

6

(x-3)，
代入椭圆方程，得（20+m²）x²-6x+9m²-180=0，
设N（x₂，y₂），
则3x2=

9m2-180

m2+20

⇒x2=

3m2-60

m2+20

，
y2=

m

6

(x2-3)=

m

6

(

3m2-60

m2+20

-3)=-

20m

m2+20

．
得点N的坐标为(

3m2-60

m2+20

，-

20m

m2+20

)．…（10分）
①若

240-3m2

m2+80

=

3m2-60

m2+20

⇒m2=40时，
直线MN的方程为x=1，与x轴交于（1，0）点；
②若m²≠40，直线MN的方程为y+

20m

m2+20

=

10m

40-m2

(x-

3m2-60

m2+20

)，
令y=0，解得x=1．
综上所述，直线MN必过x轴上的定点（1，0）．…（12分）