已知椭圆的离心率为
,直线
与以原点为圆心、以椭圆
的短半轴长为半径的圆
相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左焦点为
,右焦点为
,直线
过点
,且垂直于椭圆的长轴,动直线
垂直于
,垂足为点
,线段
的垂直平分线交
于点
,求点
的轨迹
的方程;
(3)设与
轴交于点
,不同的两点
在
上(
与
也不重合),且满足
,求
的取值范围.
(1);(2)
;(3)
.
解析试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面内两点间的距离公式等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质,以及数形结合的数学思想方法,考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问,利用直线与圆相切列出距离公式,求出椭圆中的基本量,比较简单;第二问,考查抛物线的定义,本问主要考查理解题意的能力;第三问,与向量相结合,再加上基本不等式求最值.
试题解析:(1)由直线与圆
相切,得
,即
.
由,得
,所以
,所以椭圆的方程是
. (4分)
(2)由条件,知,即动点
到定点
的距离等于它到直线
的距离,由抛物线的定义得点
的轨迹
的方程是
.(6分)
(3)由(2)知,设
,
∴
由,得
,
∵,∴
,
∴,当且仅当
,即
时等号成立.
又,
∵,∴当
,即
时,
.
故的取值范围是
.(12分)
考点:1.椭圆的标准方程;2.点到直线的距离公式;3.抛物线的定义;4.基本不等式.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆抛物线
的焦点均在
轴上,
的中心和
的顶点均为坐标原点
从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知分别是椭圆
的左、右焦点,椭圆的离心率
.
(I)求椭圆的方程;(II)已知直线
与椭圆
有且只有一个公共点
,且与直线
相交于点
.求证:以线段
为直径的圆恒过定点
.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
抛物线M: 的准线过椭圆N:
的左焦点,以坐标原点为圆心,以t(t>0)为半径的圆分别与抛物线M在第一象限的部分以及y轴的正半轴相交于点A与点B,直线AB与x轴相交于点C.
(1)求抛物线M的方程.
(2)设点A的横坐标为x1,点C的横坐标为x2,曲线M上点D的横坐标为x1+2,求直线CD的斜率.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设点A(,0),B(
,0),直线AM、BM相交于点M,且它们的斜率之积为
.
(Ⅰ)求动点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ)若直线过点F(1,0)且绕F旋转,
与圆
相交于P、Q两点,
与轨迹C相交于R、S两点,若|PQ|
求△
的面积的最大值和最小值(F′为轨迹C的左焦点).
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆方程为
,过右焦点斜率为1的直线到原点的距离为
.
(1)求椭圆方程.
(2)已知为椭圆的左右两个顶点,
为椭圆在第一象限内的一点,
为过点
且垂直
轴的直线,点
为直线
与直线
的交点,点
为以
为直径的圆与直线
的一个交点,求证:
三点共线.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,过抛物线的对称轴上任一点
作直线与抛物线交于
、
两点,点Q是点P关于原点的对称点.
(1)设,证明:
;
(2)设直线AB的方程是,过
、
两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线,求圆C的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知动圆C经过点(0,m) (m>0),且与直线y=-m相切,圆C被x轴截得弦长的最小值为1,记该圆的圆心的轨迹为E.
(Ⅰ)求曲线E的方程;
(Ⅱ)是否存在曲线C与曲线E的一个公共点,使它们在该点处有相同的切线?若存在,求出切线方程;若不存在,说明理由.
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