Question

设O为坐标原点，A（-

1

p

，0），点M在定直线x=-p（p＞0）上移动，点N在线段MO的延长线上，且满足

|OM|

|MN|

=

1

|NA|

．
（Ⅰ）求动点N的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？
（Ⅱ）若|AN|的最大值≤

3

2

，求p的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）用直接法求轨迹方程即可，先设出点N坐标，把M点的坐标用N点坐标表示，再代入

|OM|

|MN|

=

1

|NA|

，化简，即可得动点N的轨迹方程，再按照p的取值范围讨论点N的轨迹是什么曲线．
（Ⅱ）用A，N的坐标表示|AN|，化简可得含N点横坐标的式子，再根据（Ⅰ）中得到的曲线范围，求出|AN|的最大值，再令|AN|的最大值小于等于

3

2

，解出p即可．

解答：解：（Ⅰ）设N（x₀，y₀），（x₀＞0），则直线ON方程为y=

y0

x0

x，与直线x=-p交于点M（-p，-

py0

x0

），
代入

|OM|

|MN|

=

1

|NA|

得，

(-p)2+(- py0 x0 )2

(x0+p)2+(y0+  py0 x0 )2

=

1

(x0+ 1 p )2+ y02

或

1 +( y0 x0 )2 |0-(-p)|

1 +( y0 x0 )2 |x0-(-p)|

=

1

(x0+ 1 p )2+y02

化简得（p²-1）x₀²+p²y₀²=p²-1．
把x₀，y₀换成x，y得点N的轨迹方程为（p²-1）x²+p²y²=p²-1．（x＞0）
（1）当0＜p＜1时，方程化为x²-

y2

1-p2 p2

=1表示焦点在x轴上的双曲线的右支；
（2）当p=1时，方程化为y=0，表示一条射线（不含端点）；
（3）当p＞1时，方程化为x²+

y2

p2-1 p2

=1表示焦点在x轴上的椭圆的右半部分．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知|AN|=

(x0+ 1 p )2+ y02

=

(x0+ 1 p )2+1- 1 p2 -(1- 1 p2 ) x02

=

1 p2 x02+ 2 p x0+ 1

=

1

p

x₀+1．

当0＜p＜1时，因x₀∈[1，+∞），故|AN|无最大值，不合题意．
当p=1，因x₀∈（0，+∞），故|AN|无最大值，不合题意．
当p＞1时，x₀∈（0，1]，故当x₀=1时，|AN|有最大值

1

p

+1，由题意得

1

p

+1≤

3

2

，
解得p≥2．所以p的取值范围为[2，+∞）．
命题意图：通过用设点，代换，化简，检验等步骤求曲线方程，考查解析几何中已知曲线求方程的能力，并结合含参数的方程表示的曲线类型的讨论考查学生的分类讨论思想的应用．

点评：本题考查了直接法求轨迹方程，以及最值的求法，综合性强，做题时要认真分析．