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    如图，某城市有一条从正西方AO通过市中心O后向东北OB，现要修一条地铁L，在OA上设一站，在OB上设一站，地铁在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10km，设地铁在AB部分的总长度为ykm．
    （1）按下列要求建立关系式：
    （i）设∠OAB=α，将y表示为α的函数；
    （ii）设OA=m，OB=n，用m，n表示y；
    （2）把A，B两站分别设在公路上离中心O多远处，才能使AB最短，并求出最短距离．
    分析：（1）（i）过O作OH⊥AB于H，则由∠AOH=
    π
    2
    -α，∠BOH=π-
    π
    4
    -(
    π
    2
    -α)=
    π
    4
    +α    及直角三角形的三角关系可求AH=10cotα，BH=10tan(
    π
    4
    +α)    ，而AB=AH+BH，整理即可
    （ii） 由等面积原理得，
    1
    2
    •AB•10=
    1
    2
    mnsin
    3π
    4
    可求AB
    （2）选择方案一：结合正弦函数的性质可求AB的最小值
    选择方案二：由余弦定理得AB2=m2+n2-2mncos
    3π
    4
    =m2+n2+
    		2
    mn    ≥(2+
    		2
    )mn    ，结合基本不等式可求AB的最小值
    解答：解：（1）（i）过O作OH⊥AB于H
    由题意得，∠AOH=
    π
    2
    -α，∠BOH=π-
    π
    4
    -(
    π
    2
    -α)=
    π
    4
    +α
    且0＜α＜
    π
    2
    tan∠AOH=cotα=
    AH
    10

    即AH=10cotα…（2分）
    tan∠BOH=tan(
    π
    4
    +α)=
    BH
    10
    即BH=10tan(
    π
    4
    +α)    …（4分）
    ∴AB=BH+AH=10tan(
    π
    4
    +α)+10cotα    =10(
    cosα
    sinα
    +
    sinα+cosα
    cosα-sinα
    )    =
    20
    		2
    sin(2α+
    π
    4
    )-1
    …（8分）
    （ii） 由等面积原理得，
    1
    2
    •AB•10=
    1
    2
    mnsin
    3π
    4
    即AB=
    mn
    10
    		2
    …（10分）
    （2）选择方案一：当α=
    π
    8
    时|AB|min=20(
    		2
    +1)    ，…（12分）
    此时OA=OB=
    10
    sin
    π
    8
    ，而cos
    π
    4
    =1-2sin2
    π
    8
    =
    		2
    2

    所以OA=OB=10
    		4+2
    		2
    ．                         …（14分）
    选择方案二：因为tan∠AOB=
    3π
    4
    ，
    由余弦定理得AB2=m2+n2-2mncos
    3π
    4
    =m2+n2+
    		2
    mn    ≥(2+
    		2
    )mn
    ∴AB2≥20(
    		2
    +1)AB    …（12分）
    即AB≥20(
    		2
    +1)    （当且仅当m=n=10
    		4+2
    		2
    时取等号）…（14分）
    点评：本题主要考查了解三角形在实际问题中的应用，综合考查了基本不等式的知识，解题的关键是合理的把实际问题转化为数学问题
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    （1）把y表示成θ的函数y=f（θ），并求出定义域；
    （2）当m=
    		6
    +
    		2
    2
    时，如何确定A点的位置才能使得总造价最低？

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    （1）把表示成的函数，并求出定义域；

    （2）当时，如何确定A点的位置才能使得总造价最低？

     

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    （ii）设OA=m，OB=n，用m，n表示y；
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