【题目】已知椭圆与y轴的正半轴相交于点M,且椭圆E上相异两点A、B满足直线MA,MB的斜率之积为.
(Ⅰ)证明直线AB恒过定点,并求定点的坐标;
(Ⅱ)求三角形ABM的面积的最大值.
【答案】(1)直线恒过定点.(2)
【解析】试题分析:利用设而不求思想设出点的坐标,首先考虑 直线斜率不存在的情况,然后研究直线斜率存在的一般情况,设出直线斜截式方程与椭圆方程联立方程组,代入整理后写出根与系数关系,根据MA、MB的斜率之积为,代入,解出,得出直线过定点,第二步联立方程组后利用判别式大于零,求出k的范围,表示三角形的面积,利用基本不等式求出最值 .
试题解析:
解:(Ⅰ)由椭圆的方程得,上顶点,记 由题意知, ,若直线的斜率不存在,则直线的方程为,故,且,因此,与已知不符,因此直线的斜率存在,设直线: ,代入椭圆的方程得: ………①
因为直线与曲线有公共点,所以方程①有两个非零不等实根,
所以,
又, ,
由 ,得
即
所以
化简得: ,故或,
结合知,
即直线恒过定点.
(Ⅱ)由且得: 或,
又
,当且仅当,即 时, 的面积最大,最大值为 .
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【题目】如图,在平面四边形ABCD中,△BCD是正三角形,AB=AD=1,∠BAD=θ.
(Ⅰ)将四边形ABCD的面积S表示成关于θ的函数;
(Ⅱ)求S的最大值及此时θ的值.
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【题目】猜商品的价格游戏, 观众甲: 主持人:高了! 观众甲: 主持人:低了! 观众甲: 主持人:高了! 观众甲: 主持人:低了! 观众甲: 主持人:低了! 则此商品价格所在的区间是 ( )
A. B.
C. D.
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【题目】函数的定义域为,对给定的正数,若存在闭区间,使得函数满足:①在内是单调函数;②在上的值域为,则称区间为的级“理想区间”.下列结论错误的是( )
A. 函数()存在1级“理想区间”
B. 函数()不存在2级“理想区间”
C. 函数()存在3级“理想区间”
D. 函数, 不存在4级“理想区间”
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,且两坐标系有相同的长度单位.已知点的极坐标为, 是曲线: 上任意一点,点满足,设点的轨迹为曲线.
(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)若过点的直线的参数方程(为参数),且直线与曲线交于, 两点,求的值.
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【题目】(本小题满分12分,(1)小问7分,(2)小问5分)
设函数
(1)若在处取得极值,确定的值,并求此时曲线在点处的切线方程;
(2)若在上为减函数,求的取值范围。
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线的极坐标方程为),圆的参数方程为: (其中为参数).
(1)判断直线与圆的位置关系;
(2)若椭圆的参数方程为(为参数),过圆的圆心且与直线垂直的直线与椭圆相交于两点,求.
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【题目】如图所示:湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行,某一时刻,甲船在最前面的点处,乙船在中间点处,丙船在最后面的点处,且.一架无人机在空中的点处对它们进行数据测量,在同一时刻测得, .(船只与无人机的大小及其它因素忽略不计)
(1)求此时无人机到甲、丙两船的距离之比;
(2)若此时甲、乙两船相距100米,求无人机到丙船的距离.(精确到1米)
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【题目】已知是直线上任意一点,过作,线段的垂直平分线交于点.
(Ⅰ)求点的轨迹对应的方程;
(Ⅱ)过点的直线与点的轨迹相交于两点,( 点在轴上方),点关于轴的对称点为,且,求的外接圆的方程.
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