【题目】如图,四棱锥中,四边形
为菱形,
,
,平面
平面
.
(1)求证:;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)取中点
连结
,
,先证明
平面BOP,即可证明
;
(2)先证明两两垂直.以
为原点,分别以
的方向为
轴,
轴,
轴的正方向建立空间直角坐标系
.求出平面
与平面
的法向量,代入公式即可得到结果.
(1)证明:取中点
连结
,
,
,
.
又四边形为菱形,
,故
是正三角形,
又点是
的中点,
.
又,
平面
,
平面
,又
平面
.
.
(2)解:,点
是
的中点,
.
又平面平面
.
平面平面
,
平面
,
平面
,又
平面
.
,
.又
,
所以两两垂直.
以为原点,分别以
的方向为
轴,
轴,
轴的正方向建立空间直角坐标系
.
设,则各点的坐标分别为
,
,
.
故,
,
,
,
设,
分别为平面
,平面
的一个法向量,
由可得
,令
,则
,
,故
.
由可得
,令
,则
,
,故
.
.
又由图易知二面角是锐二面角,
所以二面角的余弦值是
.
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【题目】已知定点A(-1,0),F(2,0),定直线l:x=,不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B、C两点,直线AB、AC分别交l于点M、N
(Ⅰ)求E的方程;
(Ⅱ)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F,并说明理由.
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【题目】某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传,在一年内预计销量(万件)与广告费
(万元)之间的函数关系为
,已知生产此产品的年固定投入为
万元,每生产1万件此产品仍需要再投入30万元,且能全部销售完,若每件甲产品销售价格(元)定为:“平均每件甲产品生产成本的150%”与“年平均每件产品所占广告费的50%”之和,则当广告费为1万元时,该企业甲产品的年利润比不投入广告费时的年利润增加了__________万元.
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【题目】设集合是集合
…,
的子集.记
中所有元素的和为
(规定:
为空集时,
=0).若
为3的整数倍,则称
为
的“和谐子集”.
求:(1)集合的“和谐子集”的个数;
(2)集合的“和谐子集”的个数.
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【题目】已知函数(其中
是自然对数的底数).
(1)证明:①当时,
;
②当时,
.
(2)是否存在最大的整数,使得函数
在其定义域上是增函数?若存在,求
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.
(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)数列{bn}的前n项和为Sn,求证:数列{Sn+}是等比数列.
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【题目】党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一. 坚决打赢脱贫攻坚战,某帮扶单位为帮助定点扶贫村真脱贫,坚持扶贫同扶智相结合,帮助贫困村中60户农民种植苹果、40户农民种植梨、20户农民种植草莓(每户仅扶持种植一种水果),为了更好地了解三种水果的种植与销售情况,现从该村随机选6户农民作为重点考察对象;
(1)用分层抽样的方法,应选取种植苹果多少户?
(2)在上述抽取的6户考察对象中随机选2户,求这2户种植水果恰好相同的概率.
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