Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，且满足6S_n=a_n²+3a_n-4（n≥1，n∈N），数列{b_n}的通项b_n=2n+2（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂；
（2）将集合{x|x=a_n，n∈N*}∩{x|x=b_n，n∈N^*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c₁，c₂，c₃，L，c_n，L．解不等式c₁+c₂+…+c_n＞1900；
（3）将集合{x|x=a_n，n∈N^*}∪{x|x=b_n，n∈N^*}中的元素从小到大依次排列，构成数列p₁，p₂，p₃，…，p_n，…．求数列{p_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）将n=1，n=2分别代入 6S_n=a_n²+3a_n-4，即可求得a₁，a₂；
（2）先求得数列{a_n}为等差数列，从而集合{x|x=a_n，n∈N*}∩{x|x=b_n，n∈N^*}中的元素从小到大依次排列得4，10，16，22，…，仍为等差数列，故可求通项公式为c_n=6n-2，进而求和可得不等式，从而得解；
（3）由（2）发现在数列{p_n}中．但不在数列{b_n}中的项恰为a₂，a₄，…，a_2n，…；再将n从从奇数与偶数进行分类讨论，从而可求数列{p_n}的通项公式．

解答：解：（1）n=1时，6S₁=a₁²+3a₁-4，⇒a₁²-3a₁-4=0⇒（a₁-4）（a₁+1）=0⇒a₁=4或a₁=-1（舍去），
n=2时，6S₂=a₂²+3a₂-4⇒a₂²-3a₂-28=0⇒a₂=7或a₂=-4（舍去）…2分
（2）n≥2时，6S_n-1=a_n-1²+3a_n-1-4，
又6S_n=a_n²+3a_n-4两式相减得6a_n=a_n²-a_n-1²+3a_n-3a_n-1⇒（a_n-a_n-1-3）（a_n+a_n-1）=0⇒a_n-a_n-1-3=0
数列{a_n}为等差数列，a_n=4+3（n-1）=3n+1，b_n=2n+2（n∈N^*），
集合{x|x=a_n，n∈N*}∩{x|x=b_n，n∈N^*}中的元素从小到大依次排列得4，10，16，22，…，仍为等差数列，
∵a_2n-1=3（2n-1）+1=6n-2=b_k=2k+2⇒k=3n-2即a_2n-1=b_3n-2，c_n=a_2n-1
通项公式为c_n=6n-2，不等式c₁+c₂+…+c_n＞1900，即3n²+n-1900＞0⇒（3n+76）（n-25）＞0
∴n＞25，n∈N为所求．…8分
（3）由（2）发现在数列{p_n}中．但不在数列{b_n}中的项恰为a₂，a₄，…，a_2n，…；
①任意n∈N^*，设a_2n-1=3（2n-1）+1=6n-2=b_k=2k+2⇒k=3n-2即a_2n-1=b_3n-2
②假设a2n=6n+1=bk=2k+2⇒k=3n-

1

2

∈N（矛盾）
∴b_3k-2=2（3k-2）+2=6k-2=a_2k-1b_3k-1=2（3k-1）+2=6k，a_2k=6k+1b_3k=6k+2…12分∵6k-2＜6k＜6k+1＜6k+2
当k=1时，b₁=a₁=p₁，b₂=p₂，a₂=p₃，b₃=p₄，…∴pn=

6k-2(n=4k-3) 6k(n=4k-2) 6k+1(n=4k-1) 6k+2(n=4k)

…14分

点评：本题考查利用数列的通项公式求数列的项、考查判断某项是否属于一个数列，发现其规律，从而写出通项形式、考查分类讨论的数学方法．