Question

已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（2，1），它们在y轴上有一个公共焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．
（1）求这三条曲线的方程；
（2）已知动直线l过点P（0，3），交抛物线于A、B两点，是否存在垂直于y轴的直线m被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出m的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）先利用待定系数法求出抛物线方程，再根据三条圆锥曲线有公共焦点，求出椭圆与双曲线中的c的值，利用椭圆与双曲线的定义，即可得到曲线方程．
（2）先假设存在垂直于y轴的直线m被以AP为直径的圆截得的弦长为定值，则以AP为直径的圆的圆心为A，P的中点，半径为AP长的一半，再利用圆中半径，半弦，弦心距构成的直角三角形即可判断．

解答：解：（1）设抛物线方程为x²=2py（p＞0），将M（2，1）代入方程得p=2．
所以抛物线方程为x²=4y．
由题意知，椭圆、双曲线的焦点为F₁（0，-1），F₂（0，1）．
设椭圆的方程为

y2

a2

+

x2

a2-1

=1(a＞1)，则由椭圆定义得2a=|MF1|+|MF2|=2+2

2

，
于是a2=(1+

2

)2=3+2

2

，a2-1=2+2

2

．
所以椭圆的方程为

y2

3+2 2

+

x2

2+2 2

=1．
设双曲线的方程为

y2

m2

+

x2

1-m2

=1(0＜m＜1)，则由双曲线定义得2m=|MF1-MF2|=2

2

-2，
于是m2=(

2

-1)2=3-2

2

，1-m2=2

2

-2．
所以双曲线的方程为

y2

3-2 2

-

x2

2 2 -2

=1．
（2）设A（x₁，y₁），则AP的中点C (

x1

2

，  

y1+3

2

)．
设l'的方程为y=a，C到l'的距离为h，以AP为直径的圆半径为r，l'被圆截得的弦长为d．
则h2=|

y1+3

2

-a|2=

1

4

[(y1+3)-2a]2，r2=(

PA

2

)2=

1

4

[x12+(y1-3)2]，
因为点A（x₁，y₁）在抛物线x²=4y上，所以x₁²=4y₁．
由(

d

2

)2=r2-h2=

1

4

[x12+(y1-3)2]-

1

4

[(y1+3)-2a]2，
得d²=[x₁²+（y₁-3）²]-[（y₁+3）-2a]²=[4y₁+（y₁-3）²]-[（y₁+3）-2a]²=4（a-2）y₁-4a²+12a．
当a=2时，d²=8，d=2

2

．

点评：本题主要考查了椭圆，双曲线，抛物线之间的关系，以及直线与圆位置关系的判断．