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    16．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b）：（b+c）：（c+a）=5：6：7，求$\frac{2sinA-sinB}{sin2C}$的值．

    分析 设a+b=5k，b+c=6k，c+a=7k，k＞0，解方程组可得a=3k，b=2k，c=4k，由余弦定理可得cosC，再由三角函数公式和正弦定理可得$\frac{2sinA-sinB}{sin2C}$=$\frac{2b-4a}{c}$，代值计算可得．

    解答 解：∵△ABC中（a+b）：（b+c）：（c+a）=5：6：7，
    ∴可设a+b=5k，b+c=6k，c+a=7k，k＞0，
    解方程组可得a=3k，b=2k，c=4k，
    ∴由余弦定理可得cosC=$\frac{（3k）^{2}+（2k）^{2}-（4k）^{2}}{2•3k•2k}$=-$\frac{1}{4}$，
    ∴由正弦定理可得$\frac{2sinA-sinB}{sin2C}$=$\frac{2sinA-sinB}{2sinCcosC}$
    =$\frac{2a-b}{2c•（-\frac{1}{4}）}$=$\frac{2b-4a}{c}$=$\frac{4k-12k}{4k}$=-2

    点评 本题考查正余弦定理解三角形，巧妙设置k值表示三边是解决问题的关键，属中档题．

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