Question

给出下列命题：
①若向量

AB

，

BC

共线，则A，B，C三点共线；
②若空间中三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面；
③若存在实数x，y使

OP

=x

OA

+y

OB

，则O，P，A，B四点共面；
④“向量

a

，

b

共线”是“存在实数λ使

a

=λ

b

”的充要条件；
其中真命题序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,平面向量及应用

分析：①由于向量

AB

，

BC

共线，且有相同的端点，故A，B，C共线；
②假设这三个向量平行，且不位于同一平面上，则这三个向量的起点和终点不共面，即可判断；
③由共面向量定理，得到

OP

=x

OA

+y

OB

+(1-x-y)

OC

（C与O重合），即可判断O，P，A，B是否共面；
④由向量共线定理和充分必要条件定义，注意

b

=

0

，

a

≠

0

，即可判断．

解答： 解：①若向量

AB

，

BC

共线，则A，B，C三点共线，故①对；
②若空间中三个向量共面，假设这三个向量平行，且不位于同一平面上，
则这三个向量的起点和终点不共面，故②错；
③若存在实数x，y使

OP

=x

OA

+y

OB

，即

OP

=x

OA

+y

OB

+(1-x-y)

OC

（C与O重合），
由共面向量定理得O，P，A，B四点共面，故③对；
④“向量

a

，

b

共线”推不出“存在实数λ使

a

=λ

b

”，比如

b

=

0

，

a

≠

0

，则不存在实数λ使

a

=λ

b

，
反之成立，故“向量

a

，

b

共线”是“存在实数λ使

a

=λ

b

”的必要不充分条件，故④错．
故答案为：①③

点评：本题考查平面向量的有关知识，考查向量的共线定理、点共线、点共面的判定和性质，属于基础题．