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设二次函数y=f(x)的图象过原点,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.
分析:由二次函数y=f(x)的图象过原点,设出二次函数解析式为f(x)=ax2+bx(a≠0),把f(-1)和f(1)用含有a,b的代数式表示,联立关于a,b的方程组解出a,b,然后把f(-2)也用含有a,b的代数式表示,最后转化为用f(-1)和f(1)表示,由f(-1)和f(1)的范围求得f(-2)的范围.
解答:解:∵二次函数y=f(x)的图象过原点,
∴设f(x)=ax2+bx(a≠0),
f(-1)=a-b
f(1)=a+b

a=
1
2
[f(-1)+f(1)]
b=
1
2
[f(1)-f(-1)]

∴f(-2)=4a-2b=4×
1
2
[f(-1)+f(1)]-2×
1
2
[f(1)-f(-1)]=3f(-1)+f(1),
又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,
即5≤f(-2)≤10.
∴f(-2)的取值范围是[5,10].
点评:本题考查了函数值的求法,训练了利用不等式求函数的值的范围,解答此题的关键是把f(-2)转化为含有
f(-1)和f(1)的表达式,此题是易错题,学生往往会直接由f(-1)和f(1)的范围联立求出a和b的范围,然后把f(-2)用a和b的代数式表示,由a和b的范围求解f(-2)的范围,忽略了其中a和b是相关联的.
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