Question

4．已知函数f（x）=|x-10|+|x-20|，且满足f（x）＜10a（a∈R）的解集不是空集．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求a+$\frac{4}{{a}^{2}}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用绝对值的意义求得函数f（x）＜10a的解集不是空集时，a的范围．
（Ⅱ）由条件利用基本不等式求得a+$\frac{4}{{a}^{2}}$的最小值

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=|x-10|+|x-20|表示数轴上的x对应点到10、20对应点的距离之和，
它的最小值为10，由f（x）＜10a（a∈R）的解集不是空集，可得10a＞10，a＞1．
（Ⅱ）当a＞1时，$a+\frac{4}{a^2}=\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{4}{a^2}$，
又 $\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{4}{a^2}≥3\root{3}{{\frac{a}{2}•\frac{a}{2}•\frac{4}{a^2}}}=3$，当且仅当$\frac{a}{2}=\frac{4}{a^2}$，即a=2时等号成立，
所以$a+\frac{4}{a^2}$的最小值为3．

点评 本题主要考查绝对值的意义，基本不等式的应用，属于基础题．