Question

过椭圆C：

y2

9

+

x2

4

=1上一动点P（x₀，y₀ ），x₀y₀≠0，引圆O：x²+y²=4的两条切线PA、PB，A、B为切点，
（1）如果P点坐标为(-1，

3 3

2

)，求直线AB的方程；
（2）两条切线PA、PB是否可能互相垂直？若能垂直，求出点P的坐标；若不可能垂直，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由过圆心在原点的圆上一点的切线方程求得过A，B的切线方程，再根据两切线均过P求得过AB的方程，代入P点坐标得答案；
（2）由题意可知OAPB的正方形，由此列式

x02+y02=8 y02 9 + x02 4 =1

解得P点坐标．

解答： 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则PA、PB的方程分别为x₁x+y₁y=4，x₂x+y₂y=4，
而PA、PB交于P（x₀，y₀）
即x₁x₀+y₁y₀=4，x₂x₀+y₂y₀=4，
∴AB的直线方程为：x₀x+y₀y=4
∵P点坐标为(-1，

3 3

2

)，
∴AB的直线方程为：2x-3

3

y+8=0；
（2）∵两条切线PA、PB互相垂直，
∴

PA

•

PB

=0，
∴OAPB的正方形，
∴

x02+y02=8 y02 9 + x02 4 =1

，解得：x02=

4

5

．
∴x0=±

2 5

5

，
∴P点坐标为（-

2 5

5

，-

6 5

5

），（-

2 5

5

，

6 5

5

），（

2 5

5

，-

6 5

5

），（-

2 5

5

，-

6 5

5

）．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系的综合运用，具有一定的难度，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．