Question

“渐升数”是指从左边第二位起每个数字都比前面的数字大的正整数，如125，23478等．
（1）问五位“渐升数”有多少个；
（2）首位为“1”（即1××××）的“渐升数”有多少个；
（3）前两位为“23”（即23×××）的“渐升数”有多少个；
（4）若把五位“渐升数”按从小到大的顺序排列，第100个数为多少？
（以上结果均用数字回答）．

Answer 1

分析：（1）从9个数任意取5个数即可得五位“渐升数”的个数；
（2）首位已定，再从其余8个数任意取4个数即可得五位“渐升数”的个数；
（3）前两位为“23”已定，再从其余6个数任意取3个数即可得五位“渐升数”的个数；
（4）由（2）（3）可知，“渐升数”的个数是90个，求出前两位是“24”的五位“渐升数”即可得答案．

解答：解：（1）C₉⁵=126，五位“渐升数”共126个．
（2）C₈⁴=70，首位是“1”的五位“渐升数”有70个．
（3）C₆³=20，前两位是“23”的五位“渐升数”有20个．
（4）∵前两位是“24”的五位“渐升数”（24×××）有C₅³=10个，∴若将五位渐升数从小到大排列，第100个数为24789．

点评：本题的考点是排列、组合的实际应用，主要考查新定义，考查组合知识，属于基础题．