Question

10．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，D、E、F分别为B₁A、C₁C、BC的中点．
（1）求证：直线DE∥平面ABC；
（2）求锐二面角B₁-AE-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）证法1：根据直线与平面平行的判定定理可知，只要在平面ABC里面找到一条直线与DE平行即可，过DE构造平行四边形，使其与平面ABC相交，则可得DE与交线平行，所以进一步可得DE∥平面ABC；
证法2：（空间向量法）如图建立空间直角坐标系O-xyz，令AB=AA₁=4，只需平面ABC的法向量 与$\overrightarrow{DE}$垂直即可．
（2）：（空间向量法）如图建立空间直角坐标系O-xyz，令AB=AA₁=4，求出两个面的法向量即可利用向量法求解．

解答 解：（1）方法一：设AB的中点为G，连接DG，CG，则$DG\underline{\underline∥}\frac{1}{2}A{A_1}\underline{\underline∥}EC$，
四边形DGCE为平行四边形，∴DE∥GC，又DE?ABC，GC?ABC∴DE∥平面ABC．…（6分）
方法二：（空间向量法）如图建立空间直角坐标系O-xyz，令AB=AA₁=4，
则A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），
B₁（4，0，4），D（2，0，2）．…（2分）$\overrightarrow{DE}=（-2，4，0）$，
平面ABC的法向量为$\overrightarrow{A{A_1}}=（0，0，4）$．
∵$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{A{A_1}}=0$，∴$\overrightarrow{DE}⊥\overrightarrow{A{A_1}}$，
又∵DE?ABC，∴DE∥平面ABC．…（6分）

（2）∵$\overrightarrow{{B_1}F}=（-2，2，-4）$，$\overrightarrow{EF}=（2，-2，-2）$，$\overrightarrow{AF}=（2，2，0）$，
∴$\overrightarrow{{B_1}F}•\overrightarrow{EF}=0$，$\overrightarrow{{B_1}F}•\overrightarrow{AF}=0$∴$\overrightarrow{{B_1}F}⊥\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{{B_1}F}⊥\overrightarrow{AF}$
∵AF∩EF=F∴B₁F⊥平面AEF．
∴平面AEF的一个法向量为$\overrightarrow{{B_1}F}=（-2，2，-4）$．…（8分）
设平面 B₁AE的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，则由$\overrightarrow n•\overrightarrow{AE}=\overrightarrow n•\overrightarrow{A{B_1}}=0$，即$\left\{{\begin{array}{l}{2y+z=0}\\{x+z=0}\end{array}}\right.$．
令x=2，则z=-2，y=1∴$\overrightarrow n=（2，1，-2）$．
∴$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{{B_1}F}＞=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{{B_1}F}}}{{|{\overrightarrow n}||{\overrightarrow{{B_1}F}}|}}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$…（12分）
∴二面角B₁-AE-F的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，属于中档题．