Question

函数应用题：某厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但是每生产100台需要加可变成本（另增加投入）0.25万元，市场对此产品的年需求量为500台．销售收入（单位：万元）的函数为F(x)=5x-

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2

x2（0≤x≤5），其中x是产品售出的数量（单位：百台）．
（1）写出利润G（x）表示为年产量的函数关系式．
（2）年产量为多少时，工厂所得利润最大？

Answer 1

分析：（1）利润函数G（x）=销售收入函数F（x）-成本函数R（x），x是产品售出的数量（产量），代入解析式即可；
（2）由利润函数是二次函数，可以利用二次函数的性质求出函数取最大值时对应的自变量x的值．

解答：解：（1）依题意，得：
利润函数G（x）=F（x）-R（x）=（5x-

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x²）-（0.5+0.25x）=-

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x²+4.75x-0.5  （其中0≤x≤5）；
（2）利润函数G（x）=-

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x²+4.75x-0.5（其中0≤x≤5），
当x=-

4.75

2×(- 1 2 )

=4.75时，G（x）有最大值；
所以，当年产量为475台时，工厂所得利润最大．

点评：本题在正确理解利润函数的基础上，运用二次函数的性质，解决实际应用问题，属于基础题．