【题目】定义在R上的函数y=f(x),恒有f(x)=f(2﹣x)成立,且f′(x)(x﹣1)>0,对任意的x1<x2 , 则f(x1)<f(x2)成立的充要条件是( )
A.x2>x1≥1
B.x1+x2>2
C.x1+x2≤2
D.x2
【答案】B
【解析】解:由f(x)=f(2﹣x),得函数关于x=1对称.由f'(x)(x﹣1)>0得,当x>1时,f′(x)>0,此时函数为增函数;当x<1时,f′(x)<0,此时函数f(x)为减函数,
①若x1<x2,当1≤x1,函数为增函数,满足对任意的x1<x2,f(x1)<f(x2),此时x1+x2>2,
②若x1<1,
∵函数f(x)关于x=1对称,则f(x1)=f(2﹣x1),则2﹣x1>1,
则由f(2﹣x1)=f(x1)<f(x2),此时2﹣x1<x2,即x1+x2>2,
即对任意的x1<x2,f(x1)<f(x2)得x1+x2>2,反之也成立,
即对任意的x1<x2,f(x1)<f(x2)是x1+x2>2的充要条件,
所以答案是:B
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减即可以解答此题.
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【题目】已知曲线C1的参数方程为 (为参数).在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2: .
(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(2)若C1与C2相交于A、B两点,设点F(1,0),求 的值.
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【题目】如图,正方形 的边长为2, 为 的中点,射线 从 出发,绕着点 顺时针方向旋转至 ,在旋转的过程中,记 为 , 所经过的在正方形 内的区域(阴影部分)的面积 ,那么对于函数 有以下三个结论:
① ;② 对任意 ,都有 ;
③ 对任意 ,且 ,都有 ;
其中所有正确结论的序号是;
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【题目】某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如图所示.
成绩分组 | 频数 | 频率 |
(160,165] | 5 | 0.05 |
(165,170] | ① | 0.35 |
(170,175] | 30 | ② |
(175,180] | 20 | 0.20 |
(180,185] | 10 | 0.10 |
合计 | 100 | 1 |
(1)请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据,再画出频率分布直方图;
(2)为了能选拔出最优秀的学生,该高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试,求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?
(3)在(2)的前提下,学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官的面试,求第四组至少有一名学生被考官A面试的概率?
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【题目】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,并且b=2
(1)若角A,B,C成等差数列,求△ABC外接圆的半径;
(2)若三边a,b,c成等差数列,求△ABC内切圆半径的最大值.
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【题目】已知函数f(x)的定义域为R,f′(x)为函数f(x)的导函数,当x∈[0.+∞)时,2sinxcosx﹣f′(x)>0且x∈R,f(﹣x)+f(x)+cos2x=1.则下列说法一定正确的是( )
A. ﹣f(﹣ )> ﹣f(﹣ )
B. ﹣f(﹣ )> ﹣f(﹣ )
C. ﹣f( )> ﹣f( )
D. ﹣f(﹣ )> ﹣f( )
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【题目】已知函数f(x)=lnx﹣2ax(其中a∈R).
(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的图象在x=1处的切线方程;
(Ⅱ)若f(x)≤1恒成立,求a的取值范围;
(Ⅲ)设g(x)=f(x)+ x2 , 且函数g(x)有极大值点x0 , 求证:x0f(x0)+1+ax02>0.
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【题目】设a,b∈R,函数 ,g(x)=ex(e为自然对数的底数),且函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在x=0处有公共的切线.
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅲ)若g(x)>f(x)在区间(﹣∞,0)内恒成立,求a的取值范围.
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【题目】如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,面ABB1A1为矩形,AB=1,AA1= ,D为AA1的中点,BD与AB1交于点O,CO⊥面ABB1A1
(Ⅰ)证明:BC⊥AB1
(Ⅱ)若OC=OA,求二面角A﹣BC﹣B1的余弦值.
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