解:(I)
.
当a≤0时,f'(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)内是减函数,∴函数f(x)没有极值.
当a>0时,令f'(x)=0,得
.
当x变化时,f'(x)与f(x)变化情况如下表:
∴当
时,f(x)取得极小值
.
综上,当a≤0时,f(x)没有极值;
当a>0时,f(x)的极小值为
,没有极小值.
(Ⅱ)当a=2时,设切点Q(x
0,y
0),则切线l的斜率为
.
弦AB的斜率为
.
由已知得,l∥AB,则
=
,解得x
0=e-1,
所以,弦AB的伴随切线l的方程为:
.
(Ⅲ)本命题等价于f(x)-g(x)>0在[1,e]上有解,
设F(x)=f(x)-g(x)=
,F'(x)=
,
所以F(x)为增函数,F(x)
max=F(e).
依题意需F(e)>0,解得
.
所以a的取值范围是
.
分析:(I)首先对函数求导,使得导函数等于0,解出x的值,分两种情况讨论:当f′(x)>0,即x>2,或x<-2时;当f′(x)<0,即-2<x<2时,列表做出函数的极值点,求出极值.
(II)设出切点坐标,根据坐标表示出切线的斜率,然后把切点的横坐标代入到曲线的导函数中得到切线的斜率,根据伴随切线的含义写出弦AB的伴随切线l的方程即可;
(Ⅲ)本命题等价于f(x)-g(x)>0在[1,e]上有解,设F(x)=f(x)-g(x)=
,利用导数求出其最大值,从而得出a的取值范围.
点评:本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数极值的求法,本题解题的关键是对函数求导,求出导函数等于0时对应的变量的取值,再进行讨论,本题是一个中档题目,这个知识点一般出现在综合题目中.