Question

16．等差数列{a_n}中，a₂=4，a₅=13，等比数列{b_n}中，b₂=4，b₄=16，b_n≥a_n．
（1）求{a_n}、{b_n}通项公式；　　　　　
（2）求{a_n•b_n}前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过d=$\frac{{a}_{5}-{a}_{2}}{5-2}$计算可知公差，进而可知a_n=a₂+（n-2）d，通过b_n≥a_n可知q=$\sqrt{\frac{{a}_{4}}{{a}_{2}}}$，进而可知b_n=b₂•q^n-2，计算即得结论；
（2）通过（1）、利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）∵a₂=4，a₅=13，
∴d=$\frac{{a}_{5}-{a}_{2}}{5-2}$=$\frac{13-4}{5-2}$=3，
∴a_n=a₂+（n-2）d=3n-2，
∵b₂=4，b₄=16，b_n≥a_n，
∴q=$\sqrt{\frac{{a}_{4}}{{a}_{2}}}$=$\sqrt{\frac{16}{4}}$=2，
∴b_n=b₂•q^n-2=2ⁿ；
（2）由（1）可知S_n=1•2+4•2²+…+（3n-2）•2ⁿ，
∴2S_n=1•2²+4•2³+…+（3n-5）•2ⁿ+（3n-2）•2ⁿ⁺¹，
两式相减得：-S_n=2+3（2²+…+2ⁿ）-（3n-2）•2ⁿ⁺¹
=-10-（3n-5）•2ⁿ⁺¹，
∴${S_n}=（{3n-5}）•{2^{n+1}}+10$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．